沒錯，統計學。這也是我這輩子第三次修統計學，但這次我試著讓一切不只是背公式和計算。我想知道為什麼學、該怎麼用。現在的我比任何時候都想把這門課學好。
學得更多，發現有更多要學
我在九月初就修完了這門課，之後放了一週假，現在正準備開始上 Fall Quarter。之所以會過了一段時間才總結這門課的內容，是因為我很想瞭解為什麼要學統計（不是輸入資料、做做圖就好了嗎？），還有怎麼把統計學的知識轉為優勢。不是因為放假那週我在洛杉磯忙著吃台灣牛肉麵跟港式點心。
於是，除了這門課相關的學習，我另外花了兩三倍的時間修網路課程、學 R 跟找各式各樣的文章跟書籍。這些 Side Projects 讓我意識到 Data Science 的水真的很深，每一個分支都有好多要學的東西，自己的時間也快不夠用了。當然，要掌握任何一個分支的知識，統計學都扮演了舉足輕重的角色。沒錯，就算只想走 Data Visualization，也得把統計學學好，才能正確解圖圖表。所以現在的我不只甘願讀統計學，我想把統計學讀好，配合使用各式各樣的工具，逐步培養自己的 Data Analysis 能力。
以下先從我對 Essential Statistics for Econometrics 的課前準備開始談起。
課前準備
前面提到這是我第三次學統計學，第一次是高三數學，第二次是上海交大的機率統計課跟統計學。回想前兩次學習經驗，我發現自己最後其實只記得一些公式，但從觀念到應用幾乎都忘光了。我心想這樣不行以後還得靠這個吃飯啊，所以在開課前就開始在 Datacamp 上學 R，並慢慢補回一些基礎統計觀念。
學完前面幾門黃色徽章的基本課程以後，我開始學 Statistical Inference 相關的課程，包括 t-test、F-test 跟 ANOVA 等等。從這裡開始，我漸漸意識到一個滿嚴重的問題：我可以在用 R 輕易算出各式各樣的數值，但我不確定該怎麼解釋結果。甚至，一旦少了註解跟指示，面對一個 Dataset，我不知道該用什麼方法、從何開始分析。
這是我前兩次學統計學時沒有意識到的問題，因為當時的我過度專注在題目和計算上。從高中學的常態分布，到大學學的 F-test，我覺得自己學到最多的是計算能力：根據題目要求給出正確答案。但現在的情況完全不同，利用 R 的 Package 跟 Function 我可以不用擔心計算錯誤，也不用一步一步推出各種數值；重點變成我為什麼要算這些東西，以及我該怎麼解讀算出來的結果。
所以從八月中修完 Data Visualization and Storytelling 以來，我預習統計學的方法有三個：
- 繼續在 Datacamp 上 Coding 學 R
- 找一些基礎的書來讀，例如 Naked Statistics 跟 The Signal and the Noise
- 偶爾
想偷懶的時候上 Kaggle 開開眼界
直到上課前，我至少已經把心態從「這門課好難」轉成「這門課很重要」，也下定決心要把這門課學好。
老師和教學方法
這門課的老師是 Dr. Carlos Flores，教學方法沒什麼特別的，就是版書跟筆記。這跟我原先預期的不太一樣，因為當初課程內容寫「有可能會學 R 跟 Stata」，結果第一堂課 Dr. Flores 就宣布「這門課很難，要把 Statistical Inference 講完，所以我們會著重在課本上的理論，不會用到電腦。」所以後來我抄筆記、交作業就用掉了快兩本筆記本，並從聽不太懂墨西哥口音，到可以跟老師正常對話（one of the biggest achievements）。
我們用的課本是 Casella & Berger 的 Statistical Inference（台譯：《統計推論》）。雖然我很想接著說「這是一本很棒的書，有興趣的人可以找來讀！」，但其實這本書充滿了定理、證明跟公式，對底子薄弱的人（例如我）來說直接讀實在有點吃力，很容易迷失在符號海洋當中。我是在 Dr. Flores 的導讀下才比較清楚整本書的架構，所以對正在閱讀這篇文章的你，我的建議是可以從這些資源入門：
- 前面提到的 Naked Statistics 和 The Signal and the Noise（*1）
- Udacity 上的 Intro to Descriptive Statistics 和 Intro to Inferential Statistics（*1）
- Degroot 的 Probability and Statistics（*2）
註一：這些資源是來自 Mitch Crowe 所寫的 Learn Data Science the Hard Way，強力推薦。
註二：這是 Dr. Flores 推薦的 Reference Textbook，比起 Statistical Inference 圖比較多，實例也比較多。雖然 Amazon 上有「定義不清楚」的評價，對於不太鑽研數學原理的人來說應該還行。
上課內容
所以平常上課就是照著 Statistical Inference 一直讀下去。課後我也找各式各樣的資源，一方面是幫助自己更加瞭解上課內容（例如找定理的實例，直接歸納怎麼解題），一方面也如前面所說，希望能保持學習統計學的熱情。過程中涵蓋的章節如下：
| 章節 | 內容 |
|---|---|
| 一、集合論 | 介紹集合概念，配合文氏圖解釋運算規則 |
| 二、機率論 | 介紹事件和樣本空間，配合上述運算規則 |
| 三、條件機率 | 在不同情況下計算機率，介紹全機率律和貝氏法則 |
| 四、隨機變數 | 用數值指代集合和事件，方便運算期望值和變異數 |
| 五、機率分布 | 介紹 CDF、PMF/PDF、MGF 等函數形式，配合微積分推導定理和公式 |
| 六、分布特例 | 分成離散和連續兩種，介紹各種分布的特徵和用法 |
| 七、多變量隨機分布 | 綜合前面的內容（主要是條件機率和機率分布），對兩個以上的變量運算機率、共變異數和相關係數 |
| （期中考） | 以上所有內容 |
| 八、隨機抽樣 | 研究對象從母體轉為樣本，應用新的定理、算法和分布特徵 |
| 九、點估計 | 利用樣本統計量估計母體，介紹 MOM 和 MLE 的性質和使用方法 |
| 十、評估估計量 | 評估 MOM 和 MLE 的估計結果，分成 Accuracy 和 Precision 兩個面向；介紹均方差 |
| 十一、漸近理論 | 配合極限逼近求估計量；介紹漸進過程中的一致性和中心極限定理 |
| 十二、假設檢定 | 基於上述理論和算法，利用常態分布性質檢驗統計結果，算出信賴區間 |
| （期末考） | 從期中考之後的內容 |
需要注意的是，雖然我用了幾行字簡單概括每個章節的內容，也附上了一些參考資料，但其實上面每個章節都可以各自寫成一篇很長的文章，中間的定理、推導過程和邏輯也不容忽視。有興趣研究以上內容的人，還是先從老師和教學方法裡提到的資源入手比較合適。
漫漫長路
會列這張表，只是想說明過去只重計算的我，果然在期中考後就嘗到苦頭了，對 Sample 和 Estimator 的概念掌握不深，看到作業上的題目也一頭霧水……不過我當時也清楚，自己已經不能再用「這些不是交給電腦算就好了嗎」等理由跳過這個過程，所以還是花了不少時間過這關。過程中也曾陷入明明都會照著 Cookbook Procedure 做題，但不知道自己在算什麼的窘況，只好回去追進度，重新連結不同知識。
最後，我必須坦承這個過程很無聊。我不會刻意把學習統計學講得多有趣，因為如果想學好這門課，就是得花幾十個小時看書、寫題目跟思考。不論我在過程中找了多少補充資料，終究會有迴避不掉，需要靜下心來耐心學習的過程，就像在通過一個漫長、不知何時才到出口的隧道一樣。希望上面這些說明不會讓讀者產生「所以只要讀這些東西就好了」的錯覺，也能在意識到 Data Science（或自己所處的領域）水真的很深以後，勇敢花時間好好努力。
下一站：Statistical Learning
修完這門課以後，我覺得自己已經站在跟過去完全不同的起點上。在修 Data Visualization and Storytelling 的時候，我還處於不斷追逐統計軟體的狀態，但在學了 Tableau、R，還有讀一些 Kaggle 上的案例以後，我決定把多花點時間在學習基礎知識上，摸索怎麼分析和為何分析兩大問題。現在的我：
- 不再輕視或懼怕理論，也能正常閱讀公式跟符號
- 相信統計學是一門必須掌握的專業
- 想掌握更多 Data Science 相關的知識跟工具
所以順著 R 的學習路徑和統計學的發展趨勢，我把下一個目標訂在 Stanford 的 Statistical Learning 課程，也就是更廣為人知的 Machine Learning。
會選這門課的理由跟我剛在課前準備中提到的差不多，主要是因為我在 Kaggle 上看到很多分析都在用 Machine Learning，讀了 Code 以後，發現自己基本上都會操作，但也完全不了解背後的原理。所以，順著接下來 Fall Quarter 要學的 Econometrics 和 Linear Regression，我相信 Machine Learning 不管在理論或應用上都是我未來的目標，也就找到了上面這門課。
要是兩三年前的我，可能完全不會對這種艱澀的課感興趣（轉身去學很潮的領導力），但現在的我比任何時候都想把這門課學好。再加上這門課的教授 Trevor Hastie 和 Robert Tibshirani 真的很佛心：親自講課，還免費公開著作 An Introduction to Statistical Learning。有這麼棒的資源，真是萬事俱備，只欠時間。等放假完，Fall Quarter 開始以後，我就要準備好踏上另一段旅程了。
圖片來源：Surf Station of Amtrak